Question

8．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1与x轴交A、B两点，其中A在原点的左边，B在原点的右边（如图），与y轴交与点C．
（1）试说明：不任m为何实数，A点的位置不变；
（2）若∠ACB=90°，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=0可得到B（2m+2，0），A（-1，0），于是可判断无任m为何实数，A点的位置不变；
（2）先确定C（0，m+1），再证明Rt△ACO∽Rt△COB，利用相似比得（m+1）：（2m+2）=1：（m+1），则可求得m=1或m=-1（舍去），于是可确定抛物线解析式．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=0，
整理得x²-（2m+1）x-2m-2=0，解得x₁=2m+2，x₂=-1，
所以B（2m+2，0），A（-1，0），
所以不任m为何实数，A点的位置不变；
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+（m+$\frac{1}{2}$）x+m+1=m+1，则C（0，m+1），
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
而∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴Rt△ACO∽Rt△COB，
∴OC：OB=OA：OC，即（m+1）：（2m+2）=1：（m+1），
∴m=1或m=-1（舍去），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定与性质．