Question

13．如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=8，点P为弧AD上一动点，PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，当点P从点A沿弧AD运动到点D时，点I运动的路径长为2$\sqrt{2}π$．

Answer 1

分析 连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=4$\sqrt{2}$，然后求得∠OO′D=90°，从而可求得点I运动路径的长度．

解答 解：如图，连OI，PI，DI，过D、I、O三点作⊙O′，连O′D、O′O，在优弧DO取点P′，连P′D，P′O．
．
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH．
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）．
∵PH⊥OD，
∴∠PHO=90°．
∴∠PIO=180°-$\frac{1}{2}$（∠HOP+∠OPH）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-90°）=135°．
在△OPI和△ODI中$\left\{\begin{array}{l}{IO=IO}\\{∠POI=∠DPI}\\{OD=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPI≌△ODI（SAS）．
∴∠DIO=∠PIO=135°．
∴点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上．
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°-135°=45°．
∴∠DO′O=90°，
∵OD=8，
∴OO′=DO′=4$\sqrt{2}$．
∴劣弧OD=$\frac{1}{4}×2π×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$π．
∴点I运动的路径长为2$\sqrt{2}π$．
故答案为：2$\sqrt{2}π$．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，得出点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上是解答此题的关键．