Question

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，∠ACD=45°，AB=5，求AC的长．

Answer 1

分析 由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，由tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，于是设BD=x，AD=2x，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=5，求得AD=2$\sqrt{5}$，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴设BD=x，AD=2x，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=5，
∴x=$\sqrt{5}$，2x=2$\sqrt{5}$，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∵∠ACD=45°，
∴AD=CD=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形正切值的计算，本题中求得AD的长是解题的关键．