Question

3．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，⊙O为△ABC外接圆，I为△ABC的内心．
（1）求BO的长；
（2）求BI的长．

Answer 1

分析 （1）连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，求出AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求出AD，在Rt△OBD中，由勾股定理得出OB²=OD²+BD²，代入求出即可；
（2）作△ABC的内切圆I，过点I作ID⊥BC，垂足为D．先利用面积法求得ID=$\frac{10}{3}$，然后再Rt△BDI中依据勾股定理求得IB的长即可．

解答 解：（1）如图1所示：连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC．

∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AD⊥BC，BD=DC，
BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=5，
设等腰△ABC外接圆的半径为R，
则OA=OB=OC=R，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，即R²=（12-R）²+5²，
解得：R=$\frac{169}{24}$，
∴BO=$\frac{169}{24}$；
（2）如图2所示：作△ABC的内切圆I，过点I作ID⊥BC，垂足为D．

设圆I的半径为r，根据题意得$\frac{1}{2}BC•AD=\frac{1}{2}（AB+BC+AC）•r$，即$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×36×r$．
解得：r=$\frac{10}{3}$．
∵BC是圆I的切线，
∴ID⊥BC．
在Rt△BID中，由勾股定理得：BI=$\sqrt{I{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{10}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．