Question

2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间，△PBQ的面积为8cm²？
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm²，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
（2）把S_△PBQ=8代入求得相应的t的值即可；
（3）可设P、Q两点运动t秒时，PQ有最小值，则PB=6-t，BQ=2t，根据勾股定理，可得PQ²=BP²+BQ²，代入整理即可求出其最小值；

解答 解：（1）设P、Q经过t秒时，△PBQ的面积为8cm²，
则PB=6-t，BQ=2t，
∵∠B=90°，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP×BQ=$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=-t²+6t，即S=-t²+6t（0≤t≤6）；

（2）由（1）得到S=-t²+6t．
当S=8时，-t²+6t=8，
解得，t₁=2，t₂=4，
∴当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm²；

（2）设P、Q两点运动t秒时，PQ有最小值，
∴PQ²=（6-t）²+（2t）²，
整理得，PQ²=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{144}{5}$，
∴当t=$\frac{6}{5}$时，PQ有最小值为：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出边长及配方法求出最值，是解答本题的关键．