Question

3．如图，已知关于x的二次函数y=x²+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k为常数）在-2＜x＜3的范围内有解，则k的取值范围-1≤k＜8．

Answer 1

分析 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），则利用交点式可求出抛物线解析式为y=x²-2x，则配成顶点式得到当x=1时，y的最小值为-1，接着求出当-2＜x＜3时，y的取值范围为-1≤y＜8，然后把关于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k为常数）在-2＜x＜3的范围内有解理解为抛物线y=x²-2x与直线y=k有公共点，于是可得到k的取值范围为-1≤k＜8．

解答 解：∵二次函数y=x²+mx的图象经过原点O，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线解析式为y=x（x-2），即y=x²-2x，
∵y=（x-1）²-1，
∴当x=1时，y的最小值为-1，
当x=-2时，y=x²-2x=8；当x=3时，y=x²-2x=3，
∴当-2＜x＜3时，y的取值范围为-1≤y＜8，
∵关于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k为常数）在-2＜x＜3的范围内有解可看作抛物线y=x²-2x与直线y=k有公共点，
∴k的取值范围为-1≤k＜8．
故答案为-1≤k＜8．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是运用数形结合的思想．