Question

15．已知：如图，B、A、C三点共线，并且Rt△ABD≌Rt△ECA，M是DE的中点．
（1）判断△ADE的形状并证明；
（2）判断线段AM与线段DE的关系并证明；
（3）判断△MBC的形状并证明．

Answer 1

分析 （1）△ADE是等腰直角三角形；根据Rt△ABD≌Rt△ECA，得到AD=AE，∠CAE=∠BDA，证明∠EAD=180°-90°=90°，即可解答；
（2）AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE，根据M是DE的中点，△ADE是等腰直角三角形．即可得到AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE．
（3）△MBC是等腰直角三角形，证明△BDM≌△CAM，得到CM=BM，∠CMA=∠DMB，求出∠BMC=90°，所以△MBC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）△ADE是等腰直角三角形；
∵Rt△ABD≌Rt△ECA，
∴AD=AE，∠CAE=∠BDA，
∵∠BDA+∠BAD=90°，
∴∠BDA+∠CAE=90°，
∴∠EAD=180°-90°=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形．
（2）AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE，
∵M是DE的中点，△ADE是等腰直角三角形．
∴AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE．
（3）△MBC是等腰直角三角形，
∵AM是等腰直角三角形斜边DE上的中线，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE=DM，
∵Rt△ABD≌Rt△ECA，
∴AC=BD，∠CAE=∠BDA，
∵∠MDA=∠MAE=45°，
∴∠BDM=∠CAM，
∴△BDM≌△CAM，
∴CM=BM，∠CMA=∠DMB，
∵∠DMB+∠BMA=90°，
∴∠CMA+∠BMA=90°，
∴∠BMC=90°，
∴△MBC是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，得到相等的边和角．