Question

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接AD．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），求证四边形ABCD为菱形；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，可证明四边形ABCD为平行四边形，结合AB=BC可知其为菱形；
（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=

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∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；
（3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．

解答：解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M为AC的中点，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC，
∴QM=MC，
∴∠MCQ=

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∠AMQ=60°，
∴∠CDM=30°=∠CBM，
∴CB=DC=BA，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∠CDB=90°-α，证明如下：
连接PC，

由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ=

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∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°-α；
（3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．

点评：本题主要考查菱形的判定和性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解题的关键，在（2）中得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．