Question

2．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且经A（1，0）、B（0，-3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小，如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）抛物线与x轴的除A外的另一个交点C就是A的对称点，则BC与对称轴的交点就是M，首先求得C的坐标，然后求得BC的解析式，进而求得M的坐标．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则二次函数的解析式是y=x²+2x-3；

（2）存在．
设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性得BC与对称轴的交点就是M．
∵C点的坐标是（-3，0），
设直线BC的解析式是y=kx-3，则0=-3k-3，
解得k=-1，
∴直线BC的解析式是y=-x-3．
当x=-1时，y=-2，
∴点M的坐标是（-1，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及对称的性质，确定M的位置是关键．