Question

【题目】如图，在直角梯形 AOBC 中，AC∥OB，且 OB＝6，AC＝5，OA＝4．

（1）求 B、C 两点的坐标；

（2）以 O、A、B、C 中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？

（3）是否在边 AC 和 BC(含端点)上分别存在点 M 和点 N，使得△MON 的面积最大时，它的周长还最短？若存在，说明理由，并求出这时点 M、N 的坐标；若不存在，为什么？

Answer 1

【答案】（1）B点坐标为：(6，0)，C点坐标为：(5，4)；（2）可组成的三角形为：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四个不同的三角形；（3）存在，M点坐标为：(3，4)，N点坐标为：(6，0)，理由见解析.

【解析】

（1）根据OB=6，点B在轴可得B点坐标，再利用平行线性质结合AC=5以及OA=4进一步得出点C坐标即可；

（2）根据不在同一条直线上的三点可以组成一个三角形，得到以O、A、B、C中的三点为顶点可组成4个不同的三角形，从而得出答案；

（3）如图，过点M作MP∥OA交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于点Q、G，则△MON的面积=△OMP的面积+△NMP的面积=，据此进一步根据题意分析讨论即可.

（1）∵OB=6，，

∴B点坐标为：(6，0)，

∵AC∥OB，AC=5，OA=4，

∴C点坐标为：(5，4)；

（2）以 O、A、B、C 中的三点为顶点可组成的三角形为：△AOB，△AOC，△BOC，△ABC四个不同的三角形；

（3）

如图，过点M作MP∥OA交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于点Q、G，

则△MON的面积=△OMP的面积+△NMP的面积=，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴当点N与点B重合，点M在AC上运动时，QN、MP同时取得最大值BO、OA，

∴△MON的最大面积=，

∵点N与点B重合，

∴N点坐标为(6，0)，

如图1，设O点关于AC的对称点为D，连接DB交AC于点M，

此时△MON的面积最大，周长最短，

∵AM∥BO，

∴，

即，

∴AM=3，

∴M点坐标为(3，4)，

∴存在点M与点N，使得△MON的面积最大时，其周长最短，此时M点坐标为：(3，4)，N点坐标为：(6，0).