Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x﹣2经过点C，交y轴于点G．

（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；

（2）求顶点在直线y=x﹣2上且经过点C、D的抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线顶点沿直线y=x﹣2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E，求出当EF=EG时抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（4，2），（1，2）；（2）y=（x﹣）2+；（3）y=（x﹣）2+或y=（x﹣）2﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据矩形的性质，可得D点坐标；

（2）根据对称性，可得顶点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（3）根据图形平移，可得y=（x﹣m）2+m﹣2，根据EF=EG，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解：（1）当y=2时，x﹣2=2，解得x=4，即C点坐标为（4，2）．

由矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，得

4﹣3=1，即D点的坐标为（1，2）．

故答案为：（4，2），（1，2）；

（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为，

令x=，则y=﹣2=，

∴顶点坐标为（，），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+，

把点（1，2）代入得，

a=．

∴解析式为y=（x﹣）2+；

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m﹣2），（m＞0）

∴可设解析式为y=（x﹣m）2+m﹣2，

当x=0时，y=m2+m﹣2，即F点坐标为（0，m2+m﹣2）．

当x=0时，y=m﹣2，即G（0，m﹣2）．

当GE=EF时，FG=2（yE﹣yG），即

m2+m﹣2﹣2=2[m﹣2﹣（﹣2）]．

解得m=，m=，

此时所求的解析式为：y=（x﹣）2+或y=（x﹣）2﹣．