Question

【题目】如图a，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为（6，0），（0，6），P为线段AB上的一点.

(1) 如图a，若三角形OAP的面积是12，求点P的坐标；

(2）如图b，若P为AB的中点，点M，N分别是OA，OB边上的动点，点M从顶点A，点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M，N运动的过程中，线段PM，PN之间有何关系？并证明；

(3)如图c，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP，OA分别于F，D两点，E为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）P（2，4）；（2）PM＝PN，且PM⊥PN，证明见解析；（3）OD=AE，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据点的坐标以及三角形的面积即可求得；

（2）连接OP，证明△NOP≌△MAP，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可得PN=PM，∠OPN=∠APM，从而可得PM与PN的位置关系；

（3）作AQ⊥AO 交OP延长线于Q，证明△OBD≌△AOQ，△APE≌△APQ，从而即可得.

试题解析：（1）∵A（6，0），B（0，6），∴OA=OB=6，

∴S△AOB=18，

设P的坐标为（xP，yP），

∵=12，

∴，

∵，

∴，

∴P（2，4）；

（2）PM＝PN 且PM⊥PN，

证明如下：

如图1，连接PO，

在△NOP和△MAP中，

，

∴△NOP≌△MAP，

∴ PN=PM，

且∠OPN=∠APM，

又∵∠APM+∠MPO=90° ，

∴∠OPN+∠MPO=90° ，即∠MPN=90° ，

∴PM⊥PN，

综上：PM＝PN 且PM⊥PN；

（3）OD=AE，理由：如图2，

作AQ⊥AO 交OP延长线于Q，

易知∠OBD=∠AOQ，

在△OBD和△AOQ中，

，

∴△OBD≌△AOQ，

∴∠BDO=∠Q=∠PEA，OD=AQ，

易证△APE≌△APQ，

∴ AE=AQ=OD，

∴ OD=AE．