Question

如图1，点E是等边△ABC的边BC上一点，以AE为边作等边△AEF，EF交AC于D．
（1）写出图中所有与∠BAE相等的角

 

；
（2）连接CF，求证：∠EAC=∠EFC；
（3）如图2，作EH∥AF，EH交AB于点H，求证：

EB

EC

=

EH

ED

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）如图1，根据等边三角形的性质得到∠B=∠AEF=∠BAC=∠EAF=60°；然后由图中相关角与角间的和差关系得到图中所有与∠BAE相等的角是：∠FAC、∠CEF；
（2）如图1，连接CF．通过证明△ABE≌△ACF（SAS）得到：∠ACF=∠B；然后根据三角形外角性质推知：∠EDC=∠AED+∠EAD=∠ACF+∠EFC，则∠EAC=∠EFC；
（3）通过证明△EBH∽△ECD来推知

EB

EC

=

EH

ED

．

解答：解：（1）∵△ABC、△AEF为等边三角形，
∴∠B=∠AEF=∠BAC=∠EAF=60°．
∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CEF=∠BAE．
又∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠EAF=∠FAC+∠EAC，
∴∠FAC=∠BAE．
综上所述，图中所有与∠BAE相等的角是：∠FAC、∠CEF；
故答案为：∠FAC、∠CEF；

（2）如图1，连接CF．
∵△ABC、△AEF为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
∴在△ABE和△ACF中

AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF

∴△ABE≌△ACF（SAS）．
∴∠ACF=∠B，
∵∠CDE=∠AED+∠EAD=∠ACF+∠EFC，
∴∠EAC=∠EFC；

（3）如图2，连接FC．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°．
∵EH∥AF，
∴∠BHE=∠BAF=60°+∠FAC．
又∵∠CDE=60°+∠EAC．
由（1）、（2）知，∠BAE=∠FAC=∠CEF，∠EAC=∠EFC，
∴∠BHE=∠CDE，
∴△EBH∽△ECD，
∴

EB

EC

=

EH

ED

．

点评：本题综合考查了相似三角形的性质，用到的知识点有等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质三角形的外角和定理、平行线的性质，题目的综合性较强难度较大，是一道不错的中考题．