Question

【题目】如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

(1)由已知条件可知哪两个三角形全等__________，理由_________.

(2)求∠DCO的大小.

(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)△AOB≌△ADC，SAS；(2)∠DCO=40°；(3)当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）由已知条件可知△AOB≌△ADC；

（2）先求出∠BOA的大小，又因为△AOB≌△ADC，∠AOB=∠ADC，可得∠ADC与∠AOC的关系，结合△AOD是等腰直角三角形，即可求∠DCO的大小;

(3)因为 △COD是等腰三角形，所以分三种情况讨论，CD=CO；OD=CO；CD=OD.

(1) ∵∠BAC=∠OAD=90°

∴∠BAC∠CAO=∠OAD∠CAO

∴∠DAC=∠OAB

在△AOB与△ADC中

，

∴△AOB≌△ADC，

由已知条件可知哪两个三角形全等△AOB≌△ADC，理由SAS.

(2)∵∠BOC=130°，

∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，

∵△AOB≌△ADC

∠AOB=∠ADC，

∴∠ADC+∠AOC=230°，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=90°，

∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°.

(3)当CD=CO时，

∴∠CDO=∠COD===70°

∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ODA=45°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°

又∠AOB=∠ADC=α

∴α=115°；

当OD=CO时，

∴∠DCO=∠CDO=40°

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°

∴α=85°；

当CD=OD时，

∴∠DCO=∠DOC=40°

∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC

=180°﹣40°﹣40°

=100°

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°

∴α=145°；

综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．