【题目】为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假,数学课上,老师给出菱形ABCD如图1,并作出了一个四边形ABC′D.具体作图过程如下:
如图2,在菱形ABCD中,
①连接BD,以点B为圆心,以BD的长为半径作圆弧,交CD于点P;
②分别以B、D为圆心,以BC、PC的长为半径作圆弧,两弧交于点C′.
③连接BC′、DC′,得四边形ABC′D.
依据上述作图过程,解决以下问题:
(1)求证:∠A=∠C′;AD=BC′.
(2)根据作图过程和(1)中的结论,说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是 命题.(填写“真”或“假”)
【答案】(1)见解析;(2)真
【解析】
(1)连接BP,由菱形的性质得出AD=BC,∠A=∠BCD,根据题意得出BC=B′C,BD=BP,DC′=PC,得出AD=BC′,由SSS证明△BPC≌△BDC′,得出对应角相等∠BCD=∠C′,即可得出∠A=∠C′;
(2)由(1)可知命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题.
证明:连接BP,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,∠A=∠BCD,
根据题意得:BC=B′C,BD=BP,DC′=PC,
∴AD=BC′,
在△BPC和△BDC′中,
∴△BPC≌△BDC′(SSS),
∴∠BCD=∠C′,
∴∠A=∠C′;
(2)由(1)可知四边形ABC′D中,AB=AD=BC′,∠A=∠C,但四边形ABC′D不存在,易证A、D、C′共线,
所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题.
故答案为:真.
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【题目】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
h | 0 | 8 | 14 | 18 | 20 | 20 | 18 | 14 | … |
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过,数学课外实践活动中,小林在甬江岸边的A, B两点处,利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°,若AB=114米,求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米?
(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
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【题目】如图1,已知是等腰直角三角形,
,点D是BC的中点
作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG.
试猜想线段BG和AE的数量关系是______;
将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转
,
判断
中的结论是否仍然成立?请利用图2证明你的结论;
若
,当AE取最大值时,求AF的值.
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【题目】如图,AD平分∠BAC,AB=AC,连接BC,交AD于点E,下列说法正确的有( )
①∠BAC=∠ACB;②S四边形ABDC=ADCE;③AB2+CD2=AC2+BD2;④AB﹣BD=AC﹣CD.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理;
(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,求△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;
(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.
图1 图2 图3
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【题目】某旅行社推出一条成本价为500元/人的省内旅游线路.游客人数(人/月)与旅游报价
(元/人)之间的关系为
,已知:旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人~1200元/人之间.
(1)要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内,求该旅游线路报价的取值范围;
(2)求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本;
(3)当这条旅游线路的旅游报价为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
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【题目】阳光市场某个体商户购进某种电子产品,每个进价是50元.调查发现,当售价是80元时,平均一周可卖出160个,而当售价每降低2元时,平均一周可多卖出20个.若设每个电子产品降价x元,
(1)根据题意,填表:
进价(元) | 售价(元) | 每件利润(元) | 销量(个) | 一周总利润(元) | |
降价前 | 50 | 80 | 30 | 160 | |
降价后 | 50 |
(2)若商户计划每周盈利5200元,且尽量减少库存,则应降价多少元?
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