Question

【阅读】
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“相对距离”我们记为d（p₁，p₂），给出如下定义：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的相对距离d（p₁，p₂）=|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的相对距离d（p₁，p₂）=|y₁-y₂|；[尝试]
如图1，在平面直角坐标系中，有两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）作P₁Q⊥y轴，P₂Q⊥x轴，
（1）若P₁（1，2），P₂（2，4），则d（p₁，p₂）=

 

．
（2）当d（p₁，p₂）最小时，∠P₂P₁Q=

 

．[探究]
已知C是直线y=-

3

4

x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求d（C，D）的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（C，E）的最小值及相应点E和点C的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：阅读型

分析：[尝试]（1）根据阅读材料就可得到答案；（2）由阅读材料可知：仅当|x₁-x₂|=|y₁-y₂|时，d（p₁，p₂）取最小值，由此就可解决问题．
[探究]①过点D作直线AC与x轴交于A，与直线EF交于C，过点C作CB⊥y轴于B，如图2，根据d（p₁，p₂）取最小值时|x₁-x₂|=|y₁-y₂|可得BC=BD，设点C的坐标为（x₀，-

3

4

x0+3），根据BC=BD可建立关于x₀的方程，就可解决问题；②当点E在过原点且与直线y=-

3

4

x+3垂直的直线上时，点C与点E的“相对距离”最小，设点E的坐标为（x，y）（点E位于第一象限），建立关于x、y的方程组，解这个方程组就可得到点E的坐标，设点C的坐标为（x₀，-

3

4

x0+3），由EF=FC建立x₀的方程，就可解决问题．

解答：解：[尝试]
（1）∵

.

1-2

.

=1，

.

2-4

.

=2，1＜2，∴d（p₁，p₂）=2．
故答案为：2．
（2）由阅读材料可知：仅当|x₁-x₂|=|y₁-y₂|时，d（p₁，p₂）取最小值．
此时P₁Q=P₂Q．
∵∠P₁QP₂=90°，∴∠P₂P₁Q=∠P₁P₂Q=45°．
故答案为：45°

[探究]
①过点D作直线AC与x轴交于A，与直线EF交于C，过点C作CB⊥y轴于B，如图2，
当点C与点D的“相对距离”的最小值时，|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．
则有BC=BD，
所以△BCD为等腰直角三角形，∠BDC=45°．
∵C是直线y=-

3

4

x+3上的一个动点，
∴设点C的坐标为（x₀，-

3

4

x0+3）．
∵点C在第一象限，∴x₀＞0，-

3

4

x0+3＞1．
∵点D的坐标为（0，1），
∴x0=-

3

4

x0+3-1．
解得：x₀=

8

7

．
∴点C的坐标为(

8

7

，

15

7

)，点C与点D的“相对距离”的最小值为

8

7

．
②当点E在过原点且与直线y=-

3

4

x+3垂直的直线上时，点C与点E的“相对距离”最小．
设点E的坐标为（x，y）（点E位于第一象限），
则

y x = 4 3 x2+y2=1

．
解得：

x= 3 5 y= 4 5

∴点E(

3

5

，

4

5

)．
设点C的坐标为（x₀，-

3

4

x0+3），
由x0-

3

5

=-

3

4

x0+3-

4

5

得x0=

8

5

，
∴C(

8

5

，

9

5

)，此时最小值为1．

点评：本题以阅读材料的形式呈现，考查了阅读理解能力、自主探究的能力、分析问题和解决问题的能力，而由阅读材料领悟到“仅当|x₁-x₂|=|y₁-y₂|时，d（p₁，p₂）取最小值”是解决本题的关键．