【题目】如图,矩形中,,将矩形绕点旋转得到矩形点的运动路径为.当点落在上时,图中阴影部分的面积为_____.
【答案】
【解析】
如图,连接AC,AC′,过B′作B′E⊥AB于E,于是得到B′E=BC=,根据旋转的性质得到AB′=AB=2,AC′=AC=,根据勾股定理得到AE=,B′C=BE=1,求得∠B′AB=∠C′AC=60°,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
如图,连接AC,AC′,过B′作B′E⊥AB于E,则B′E=BC=1,
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,
∴AB′=AB=2,AC′=AC=,
∴AE=,
∴B′C=BE=1,
∵B'E=,AE=1,
∴tan∠B'AB=,
∴∠B′AB=∠C′AC=60°,
∴图中阴影部分的面积=S扇形C′AC-S△AB'C′-S△AB′C=
=.
故答案为:.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OB,OC的中点D,E作AE,AD的平行线,相交于点F, 已知OB=8.
(1)求证:四边形AEFD为菱形.
(2)求四边形AEFD的面积.
(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D),点Q在y轴上,平面内是否存在点G,使得以点A,P, Q,G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.
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【题目】龙人文教用品商店欲购进、两种笔记本,用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同,每本种笔记本的进价比每本种笔记本的进价贵10元.
(1)求、两种笔记本每本的进价分别为多少元?
(2)若该商店准备购进、两种笔记本共100本,且购买这两种笔记本的总价不超过2650元,则至少购进种笔记本多少本?
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【题目】如图,是一座横跨沙颖河的斜拉桥,拉索两端分别固定在主梁l和索塔h上,索塔h垂直于主梁l,垂足为D.拉索AE,BF,CG的仰角分别是α,45°,β,且α+β=90°(α<β),AB=15m,BC=5m,CD=4m,EF=3FG,求拉索AE的长.(精确到1m,参考数据:≈2.24,≈1.41)
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【题目】如图,等边三角形中,点在边上,.点为边上一动点(不与点重合),连接关于的轴对称图形为.
(1)当点在上时,求证:;
(2)当三点共线时,求的长;
(3)连接设的面积为的面积为记是否存在最大值?若存在,请直接写出的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,是边长为2的等边三角形,点与点分别位于直线的两侧,且,连接,交直线于点.
(1)当时,求线段的长;
(2)过点作,垂足为点,直线交于点,
①当时,设(其中表示的面积,表示的面积),求关于的函数关系式,并写出的取值范围;
②当时,请直接写出线段的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,为原点,抛物线经过三点,且其对称轴为其中点,点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)①如图(1),点是直线上方抛物线上的动点,当四边形的面积取最大值时,求点的坐标;
②如图(2),连接在抛物线上有一点满足,请直接写出点的横坐标.
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【题目】如图,已知平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=12,BC=5,P为AB上任意一点(可以与A、B重合),延长PD到F,使得DF=PD,以PF、PC为边作平行四边形PCEF,则PE长度的最小值____.
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