Question

【题目】如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且，连接，交直线于点．

（1）当时，求线段的长；

（2）过点作，垂足为点，直线交于点，

①当时，设（其中表示的面积，表示的面积），求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

②当时，请直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）线段的长是；（2）①；②AE=1或．

【解析】

（1）过点作，垂足为点，设，则，根据BG=EG构建方程求出x即可得出答案；

（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．

②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别得出方程求解即可解决问题．

解：（1）∵是等边三角形，且，

∴，，

过点作，垂足为点，

设，则，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得：，

∴线段的长是；

（2）①当∠CAD＜120°时，

设∠ABD=，则∠BDA=,∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-2，

∵AD=AC，AH⊥CD，

∴∠CAF=∠DAC=60°-，

∵∠AEF=60°+，

∴∠AFE=60°，

∴∠AFE=∠ACB，

∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF∽△BEC

∴，

由（1）得在中，，

∴，

∴，

②

，则有，

整理，得3x2+x-2=0

解得x=或-1（舍去）

∴AE=

当120°＜∠CAD＜180°时，

同理可得，

当时，则有，

整理，得3x2-x-2=0

解得x=-（舍去）或1，

∴AE=1

综上所述，AE=1或．