Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．

（1）求证：四边形AEFD为菱形．

（2）求四边形AEFD的面积．

（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）48；（3）点P的坐标为(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)

【解析】

（1）结合正方形性质求得△ACE≌△ABD，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．
（3）首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．

（1）∵DF∥AE，EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形.

∵四边形ABOC是正方形，

∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.

∵点D，E是OB，OC的中点，

∴CE＝BD，

∴△ACE≌△ABD(SAS)，

∴AE＝AD，

∴是菱形

（2）如图1，连结DE

∵S△ABD＝AB·BD＝， S△ODE＝OD·OE＝，

∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2－8＝24，

∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48

（3）由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3

1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况：

如图2，AG与PQ交于点H，

∵菱形PAQG∽菱形ADFE，

∴△APH的两直角边之比为1:3

过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t

∵HN∥OQ，点H是PQ的中点，

∴点N是OP中点，

∴HN是△OPQ的中位线，

∴ON＝PN＝8－t

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，

∴△HMA∽△PNH，

∴＝＝ ，

∴HN＝3AM＝3t，

∴MH＝MN－NH＝8－3t.

∵PN＝3MH，

∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2

∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12

∴点P的坐标为(12，0)

如图3，△APH的两直角边之比为1:3

过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，

∴△AMH∽△HNP，

∴＝＝，设MH＝t，

∴PN＝3MH＝3t，

∴AM＝BM－AB＝3t－8，

∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24

又∵HI是△OPQ的中位线，

∴OP＝2IH，

∴HI＝HN，

∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4

∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，

∴点P的坐标为(24，0)

2）当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况：

如图4，△PQH的两直角边之比为1:3

过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N

∵MH是△QAC的中位线，

∴HM＝＝4

又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，

∴△HPN∽△QHM，

∴＝＝，则PN＝＝，

∴OM＝

设HN＝t，则MQ＝3t

∵MQ＝MC，

∴3t＝8－，解得t＝

∴OP＝MN＝4＋t＝，

∴点P的坐标为(，0)

如图5，△PQH的两直角边之比为1:3

过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N

∵IH是△ACQ的中位线，

∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，

∴△PMH∽△HNQ，

∴＝＝＝，则MH＝NQ＝

设PM＝t，则HN＝3t，

∵HN＝HI，

∴3t＝8+，解得 t＝

∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝，

∴点P的坐标为(，0)

3）当AP为菱形对角线时，有图6一种情况：

如图6，△PQH的两直角边之比为1:3

过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N

∵HI∥x轴，点H为AP的中点，

∴AI＝IB＝4，

∴PN＝4

∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，

∴△PNH∽△HMQ，

∴＝＝＝，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4

∵HI是△ABP的中位线，

∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，

∴点P的坐标为(16，0)

综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)．