Question

【题目】抛物线C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a为任意实数）．

（1）无论a取何值，抛物线C恒过定点　 　，　 　．

（2）当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过的整数点（横、纵坐标均为整数的点）为A1，A2，……An，将抛物线C沿着直线y＝x（x≥0）平移，将平移后的抛物线记为C n，抛物线C n经过点An，C n的顶点坐标为Mn（n为正整数且n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1）．

①抛物线C2的解析式为　 　，顶点坐标为　 　．

②抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．

③直接写出Mn﹣1，Mn两顶点间的距离：　 　．

Answer 1

【答案】（1）（0，0），（1，1）；（2）①y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．②存在，P（0，2），③2．

【解析】

（1）分别取x＝0，x＝1求出对应的函数值即可解决问题；

（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，设平移后的顶点为（m，m），则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，利用待定系数法求出m即可；

②求出A1，M1，A2，M2的坐标，利用图象法解决问题即可；

③分别求出Mn，Mn﹣1的坐标，利用两点间距离公式求解即可．

解：（1）对于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，

当x＝0时，y＝0，

当x＝1时，y＝1，

∴抛物线C经过定点（0，0）和（1，1），

故答案为：（0，0），（1，1）；

（2）①由题意a＝1，可得抛物线的解析式为y＝x2，

设平移后的顶点为（m，m），

则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2+m，

∵抛物线C2经过A2（2，4），

∴4＝（2﹣m）2+m，

解得m＝3或0（舍弃），

∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2+3，顶点M2（3，3）．

故答案为：y＝（x﹣3）2+3，（3，3）；

②存在．由题意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），

观察图象可知当P（0，2）时，PA1∥A2M2，此时四边形PM1M2A2是矩形；

③由题意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，

设抛物线Cn的解析式为y＝（x﹣m）2+m，

∵Cn经过An，

∴n2＝（n﹣m）2+m，

解得m＝2n﹣1或0（舍弃），

∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），

同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），

∴MnMn﹣1＝＝2，

故答案为：2．