Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B，C重合），则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗？若能，求出相应的点P的坐标；若不能，请说明理由；

（3）如图2，现把△BOC平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O′与点B′都在抛物线上，称点O′和点B′为△BOC在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）即当（2，﹣）时，两个三角形面积相同；（3）故抛物线上所有“卡点对”的坐标（， ）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．

【解析】

（1）分别把x=0，y=0代入一次函数表达式得：点C、B的坐标分别为（0，3）、（4，0），同理将点B、C的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）直线y=-x和直线BC平行，直线y=-x和抛物线的交点就是满足条件的点P，即可求解；
（3）分O′B′在水平位置时、O′C′在水平位置时、B′C′在水平位置时，三种情况分别求解即可．

解：（1）分别把x＝0，y＝0代入一次函数表达式得：

点C、B的坐标分别为（0，3）、（4，0），

将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：

，

解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+3；

（2）直线y＝﹣x和直线BC平行，

直线y＝﹣x和抛物线的交点就是满足条件的点P，

则，

解得：，

即当（2，﹣）时，两个三角形面积相同；

（3）抛物线的对称轴为：x＝，

①当O′B′在水平位置时，如图2所示，

O′B′＝4，则点B′和O′的横坐标分别为、，

将横坐标代入二次函数表达式得：y＝，

故此时的“卡点对”坐标为（，）和（，）；

②当O′C′在水平位置时，

O′C′＝3，则点B′和O′的横坐标分别为4、1，

将横坐标代入二次函数表达式得：y＝0，

故此时的“卡点对”坐标为（1，0）和（4，0）；

③当B′C′在水平位置时，

同理可得：此时的“卡点对”坐标为（0，3）和（5，3）；

故抛物线上所有“卡点对”的坐标（，）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．