Question

【题目】已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1 ， 当x=2时，该函数取最小值．
（1）求b的值；
（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4 ， 且x1＜x2＜x3＜x4 ， 求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知：函数y1的对称轴为x=2，

∴﹣ =2，

∴b=﹣4

（2）

解：由题意知：△=b2﹣4c=16﹣4c，

当△＞0时，

∴c＜4，

此时函数y1与x轴有两个不同的交点，

由于若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，

∴c=0，

∴y1=x2﹣4x，

令y1=0，

∴x=0或x=4，

∴两个公共点间的距离为4，

当△=0时，

∴c=4，

此时抛物线与x轴只有一个交点，与y轴只有一个交点，

∴两个公共点间的距离，由勾股定理可求得： =2

（3）

解：∵函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），

∴将（1，﹣2）代入函数y1和函数y2，

∴﹣2=1﹣4+c，

﹣2=1+m，

∴c=1，m=﹣3，

∴函数y1=x2﹣4x+1，函数y2=x2﹣3，

联立

解得：x=1，y=﹣2，

∵过点（0，a﹣3）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，

∴﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2

当﹣3＜a﹣3＜﹣2时，如图1，

即0＜a＜1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x3=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x2= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4 ，

∵0＜a＜1，

∴0＜4 ＜4，

当a﹣3＞﹣2，如图2，

即a＞1，

令y=a﹣3代入y1，

∴x2﹣4x+4﹣a=0，

∴x2=2﹣ ，x4=2+ ，

令y=a﹣3代入y2，

a﹣3=x2﹣3，

∴x1=﹣ ，x3= ，

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，

综上所述，过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4．

【解析】（1）由于题意知x=2时，该函数取得最小值，所以x=2时该函数y1的对称轴；（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，则分为两种情况讨论，一种是抛物线与x轴有两个交点时，另一种是抛物线与x轴有1个交点，然后分别求出C的值即可；（3）函数y1与y2经过（1，﹣2），所以可求出c与m的值，根据函数解析式画出图象可知，若过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则﹣3＜a﹣3＜﹣2或a﹣3＞﹣2．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)．