Question

【题目】如图，已知ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D
（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；
（2）若点B1恰好落在y轴上，试求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，

∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，

∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，

∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，

∴SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF，

∴SBCC1B1=2SBCDA．

∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，

∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，

∴SBCDA=ABOD=（3﹣n）2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣ ）2+ ，

∴SBCC1B1=2SBCDA=﹣4（n﹣ ）2+9．

∵﹣4＜0，∴当n= 时，SBCC1B1最大值为9；

（2）解：当点B1恰好落在y轴上，如图2，

∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，

∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，

∴∠B1DF=∠OBB1．

∵∠DOA=∠BOB1=90°，

∴△AOD∽△B1OB，

∴ = ，

∴ = ，

∴OB1= ．

由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n．

在Rt△AOB1中，

n2+（ ）2=（m﹣n）2，

整理得3m2﹣8mn=0．

∵m＞0，∴3m﹣8n=0，

∴ = ．

【解析】（1）如图1，易证SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF ， 从而可得SBCC1B1=2SBCDA=﹣4（n﹣ ）2+9，根据二次函数的最值性就可解决问题；（2）如图2，易证△AOD∽△B1OB，根据相似三角形的性质可得OB1= ，然后在Rt△AOB1中运用勾股定理就可解决问题．