Question

【题目】如果三角形三边的长a、b、c满足 =b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a＜c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F，若 ，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：所求图形，如右图1所示，

（2）解：△AEF是“匀称三角形”，

理由：连接AD、OD，如右图2所示，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴点D是BC的中点，

∵点O为AB的中点，

∴OD∥AC，

∵DF切⊙O于点D，

∴OD⊥DF，

∴EF⊥AF，

过点B作BG⊥EF于点G，

∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，

∴△BGD≌△CFD（ASA），

∴BG=CF，

∵ ，

∴ ，

∵BG∥AF，

∴ ，

在Rt△AEF中，设AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，

∴ ，

∴△AEF是“匀称三角形”．

【解析】（1）根据题意可以画出相应的图形，本题得以解决；（2）根据“匀称三角形”的定义，由题目中信息的，利用切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等以及勾股定理可以判断△AEF是否为“匀称三角形”．