【题目】如图,△ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分∠CAE.
(1)求证:AD∥BC;
(2)过点C作CG⊥AD于点F,交AE于点G,若AF=4,求BC的长.
【答案】
(1)证明:∵AD平分∠CAE,
∴∠DAG= ∠CAG,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠CAG=∠B+∠ACB,
∴∠B= ∠CAG,
∴∠B=∠DAG,
∴AD∥BC
(2)解:∵CG⊥AD,
∴∠AFC=∠AFG=90°,
在△AFC和△AFG中,
,
∴△AFC≌△AFG(ASA),
∴CF=GF,
∵AD∥BC,
∴△AGF∽△BGC,
∴GF:GC=AF:BC=1:2,
∴BC=2AF=2×4=8
【解析】(1)由AB=AC,AD平分∠CAE,易证得∠B=∠DAG= ∠CAG,继而证得结论;(2)由CG⊥AD,AD平分∠CAE,易得CF=GF,然后由AD∥BC,证得△AGF∽△BGC,再由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
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【题目】如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y= (x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p﹣1)(p>1)作x轴的平行线分别交双曲线y= (x>0)和y=﹣ (x<0)于点M、N.
(1)求m的值和直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF= .
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【题目】如图,△ABC中,BC=5cm,将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时,A′B′恰好经过AC的中点O,则△ABC平移的距离为cm.
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【题目】已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1 , 当x=2时,该函数取最小值.
(1)求b的值;
(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;
(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1,﹣2),过点(0,a﹣3)(a为实数)作x轴的平行线,与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点,这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值.
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【题目】已知:如图,AM为⊙O的切线,A为切点,过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D,BD交⊙O于点C,OC平分∠AOB.
(1)求∠AOB的度数;
(2)当⊙O的半径为2cm,求CD的长.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,点P在射线BC上(异于点B、C),直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
(1)若BP= ,求∠BAP的度数;
(2)若点P在线段BC上,过点F作FG⊥CD,垂足为G,当△FGC≌△QCP时,求PC的长;
(3)以PQ为直径作⊙M. ①判断FC和⊙M的位置关系,并说明理由;
②当直线BD与⊙M相切时,直接写出PC的长.
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