Question

【题目】如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示： ∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠MDF=60°，
∴∠MFD=30°，
设MD=x，则DF=2x，FM= x，
∵DG=1，∴MG=x+1，
∴（x+1）2+（ x）2=（2﹣2x）2 ，
解得：x=0.3，
∴DF=0.6，AF=1.4，
∴AH= AF=0.7，FH=AFsin∠A=1.4× = ，
∵CD=BC，∠C=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵G是CD的中点，
∴BG⊥CD，
∵BC=2，GC=1，
∴BG= ，
设BE=y，则GE=2﹣y，
∴（ ）2+y2=（2﹣y）2 ，
解得：y=0.25，
∴AE=1.75，
∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，
∴EF= = = ．
故答案为： ．

延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM= x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（ x）2=（2﹣2x）2 ， 解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH= AF=0.7，FH= ，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG= ，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（ ）2+y2=（2﹣y）2 ， 解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．