Question

3．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．求证：AM=DM．

Answer 1

分析 连接AC，利用菱形的性质可得BD⊥AC，AB∥CD，然后证明四边形EFDB是平行四边形，可得DF=EB，再证明△AME≌△DMF可得AM=DM．

解答 证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB∥CD，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴DF=EB，
∵E是AB中点，
∴AE=EB，
∴AE=DF，
∵AB∥CD，
∴∠EAM=∠ADF，
在△AEM和△DMF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠FDM}\\{∠AME=∠DMF}\\{AE=FD}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMF（AAS），
∴AM=DM．

点评 此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的对边平行，对角线互相垂直．