Question

【题目】如图，图1是△ABC，图2是“8字形”（将线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB形成的图形），图3是一个五角星形状，试解答下列问题：

(1)图1的△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝_____，并证明你写出的结论；（要有推理证明过程）

(2)图2的“8字形”中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_____；

(3)若在图2的条件下，作∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N(如图4)．请直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系：____；

(4)图3中的点A向下移到线段BE上时，请直接写出∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____．

Answer 1

【答案】 180° ∠A+∠D=∠C+∠B ∠P=（∠D+∠B） 180°

【解析】试题分析：（1）先过A点作EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根据∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可证出∠A+∠B+∠C的度数；

（2）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）根据角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据对顶角的性质，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后进行整理即可．

（4）根据两个内角之和等于和它不相邻的一个外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根据三角形内角和定理，即可得出答案．

试题解析：（1）过A点作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，

∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠D-∠P=∠P-∠B，

∴∠P=（∠D+∠B）；

（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，

又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；