Question

13．在平面直角坐标系中，点A（a，0），C（b，3），且a，b满足$\sqrt{a+2}$+（b-2）²=0，过点C作CB⊥x轴于点B．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D在y轴上，当S_△ABC=S_△ACD时，求点D的坐标；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，在射线AC上运动，点P的运动时间为t秒，AC=5，在点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，连接OP，CQ，是否存在一刻，使S_△CAQ=2S_△COP．若存在，请求t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质求出a、b的值，得到点C的坐标；
（2）根据三角形中位线定理求出OQ的长，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分当P在线段AC上和当P在线段AC的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得，a+2=0，b-2=0，
解得，a=-2，b=2，
则点C的坐标为（2，3）；
（2）如图1，AC交y轴于Q，
∵OA=OB，OQ∥BC，
∴Q（0，1），即OQ=1，
设D点的坐标为（0，t），
∵S_△ACD=S_△ADQ+S_△CDQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，
解得t=3或t=-1，
∴D点坐标为（0，3），（0，-1）；
（3）如图2，作OH⊥AC于H，
∵△AOH∽△ACB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OH}{BC}$，即$\frac{OH}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，OH=$\frac{6}{5}$，
由题意得，AQ=t，AP=2t，则PC=5-2t，
由S_△CAQ=2S_△COP得，$\frac{1}{2}$×t×3=2×$\frac{1}{2}$×（5-2t）×$\frac{6}{5}$，
解得，t=$\frac{20}{13}$；
如图3，由题意得，CP=2t-5，AQ=t，
由S_△CAQ=2S_△COP得，$\frac{1}{2}$×t×3=2×$\frac{1}{2}$×（2t-5）×$\frac{6}{5}$，
解得，t=$\frac{20}{3}$，
∴当t=$\frac{20}{13}$或$\frac{20}{3}$时，S_△CAQ=2S_△COP．

点评 本题考查了三角形的面积计算、非负数的性质以及坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键．注意平行线的性质和三角形面积公式的应用．