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【题目】实验探究:
(1)动手操作:
①如图1,将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上,使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C,且BC∥EF,已知∠A=30°,则∠ABD+∠ACD=
②如图2,若直角三角板ABC不动,改变等腰直角三角板DEF的位置,使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C,那么∠ABD+∠ACD=
(2)猜想证明:
如图3,∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系,并说明理由;
(3)灵活应用:
请你直接利用以上结论,解决以下列问题:
①如图4,BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,若∠BAC=40°,∠BDC=120°,求∠BEC的度数;
(4)②如图5,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9
若∠BDC=120°,∠BF3C=64°,则∠A的度数为

【答案】
(1)60°;60°
(2)

猜想:∠A+∠B+∠C=∠BDC;

证明:连接BC,

在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,

∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC;

在Rt△ABC中,

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,

而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC,

∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC,

即:∠A+∠B+∠C=∠BDC


(3)

①由(2)可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC,∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC,

∵∠BAC=40°,∠BDC=120°,

∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°

∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACB,

∴∠ABE+∠ACE=40°,

∴∠BEC=40°+40°=80°;


(4)40°
【解析】解:(1)动手操作:
①∵BC∥EF,
∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°,
∴∠ABD=90°﹣45°=45°,∠ACD=60°﹣45°=15°,
∴∠ABD+∠ACD=60°;
②在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
而∠D=90°,
∴∠DBC+∠DCB=90°;
在Rt△ABC中,
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,
而∠DBC+∠DCB=90°,
∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A=60°.
所以答案是60°;60°;
4)②由(2)可知:∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°,∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°,
∵∠ABF3= ∠ABD,∠ACF3= ∠ACD,
∴ABD+∠ACD=120°﹣∠A,∠A+ (∠ABD+∠ACD)=64°,
∴∠A+ =64°,
∴∠A=40°,
所以答案是40°.
【考点精析】掌握三角形的内角和外角是解答本题的根本,需要知道三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

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