Question

13．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{4}$x+1与x轴的正半轴相交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点．
（1）点A，B，C的坐标分别为A（1，0），B（4，0），C（0，1）．
（2）请你探索：在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于8．且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请你求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得y值，即可求出点C坐标，令y=0，解一元二次方程，求得x值，即可以求出点A、D坐标．
（2）首先假设存在，设出点P坐标，利用四边形面积求出点P的横纵坐标之间关系式，再利用△PBC等腰直角三角形性质，构造全等三角形，求出点P横纵坐标之间的关系式，联立两个关系式，即可以求出点P坐标．

解答 解：（1）令y=0，
得：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{4}$x+1=0，
即：x²-5x+4=0，
分解因式得：（x-1）（x-4）=0
得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=1
∴C（0，1），
故答案为：A（1，0），B（4，0），C（0，1）．

（2）存在．

假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于8，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P的坐标为（x，y），连接OP．
则S_{四边形PCOB}=S_△PCO+S_△POB
=$\frac{1}{2}$×1×x+$\frac{1}{2}$×4×y，
=$\frac{1}{2}$x+2y，
∴$\frac{1}{2}$x+2y=8，
∴x+4y=16
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四边形PEOD是矩形
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，
∴PE=PD，即x=y．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+4y=16}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{16}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．同时本题还考查二次函数与图形的综合利用，题目第一问比较简单，第二问较难，可以考查学生解决问题的综合能力．