Question

18．如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△AED与△BFD全等，再利用等量代换证明即可；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可．

解答 证明：（1）∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
在△AED与△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠ADE=∠BDF}\\{ED=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BFD（SAS），
∴∠E=∠DFB，
∵DF∥AC，
∴∠C=∠DFB，
∴∠C=∠E；
（2）∵DF平分∠AFB，
∴∠AFD=∠DFB，
∵∠E=∠DFB，
∴∠AFD=∠AED，
∵ED=DF，
∴∠DAF+∠AFD=90°，
∵EF∥AC，
∴∠AFD=∠FAC，
∴∠DAF+∠FAC=90°，
∴AC⊥AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识进行解答．