Question

6．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PC=2PA，PE⊥AB于E，CF⊥AD于F，PE=2，求CF的长．

Answer 1

分析 首先根据菱形的性质可得∠EAP=∠FAC，再有∠AEP=∠AFC=90°可证明△AEP∽△AFC，根据相似三角形的性质可得$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{FC}$，然后再根据PC=2PA可得$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{FC}$=$\frac{1}{3}$，再把PE=2，可求CF的长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAP=∠FAC，
∵PE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠AEP=∠AFC=90°，
∴△AEP∽△AFC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{FC}$，
∵PC=2PA，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EP}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∵PE=2，
∴CF=6．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角．两个角对应相等的两个三角形相似．