Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，弦AC与BD相交于点E，DE=3，EB=6．
（1）求证：△ABD∽△EAD；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）若点F是弦AC的延长线上一点，且△ABF的面积为18$\sqrt{3}$，求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）利用$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$得到∠DAC=∠ABD，然后加上公共角即可判断△ABD∽△EAD；
（2）由△ABD∽△EAD，根据相似三角形的性质可计算出AD=3$\sqrt{3}$，再根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据正切的定义可计算出tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）根据特殊角的三角函数值，由tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得到∠ABD=30°，则利用含30度的直角三角形三边的关系得AB=2AD=6$\sqrt{3}$，由于∠DAE=∠ABD=30°，则∠BAE=30°，AE=2DE=6，所以∠AED=60°，再证明∠ACB=90°，于是有BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，接着根据三角形面积公式可计算出AF=12，则EF=EB=6，于是可判断△BEF为等边三角形，得到∠EBF=60°，所以ABF=∠ABD+∠EBF=90°，最后根据切线的判定定理可得BF是⊙O的切线．

解答 （1）证明：∵点D是弧AC的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ADE=∠BAE，∠DAE=∠ABD，
∴△ABD∽△EAD；
（2）解：∵△ABD∽△EAD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，即$\frac{AD}{3+6}$=$\frac{3}{AD}$，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）证明：∵tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD=6$\sqrt{3}$，
∵∠DAE=∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，AE=2DE=6，
∴∠AED=60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵△ABF的面积为18$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AF•BC=18$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{18\sqrt{3}×2}{3\sqrt{3}}$=12，
∴EF=AF-AE=6，
∴EF=EB，
∵∠BEF=∠AED=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EBF=60°，
∴∠ABF=∠ABD+∠EBF=90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．