Question

3．如图，已知CA平分∠MCN，AB∥CN，点D是线段CA上任意点，且BD=BE，∠DBE=∠CBA，连结AE，DE．
（1）求证：CD=AE；
（2）若BC=13，AC=24．求：
①BD的最小值；②△BDE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）要证CD=AE，可利用角平分线的性质，全等三角形性质，证明△CDB≌△AEB即可证得；
（2）①要求BD的最小值，要运用垂线段定理，等腰三角形的性质，勾股定理，从而求得BD的最小值；
②利用轴对称性质，求出△BDE周长的最小值．

解答 （1）证明：∵AC平分∠MCN，
∴∠ACB=∠ACN，
又∵AB∥CN，
∴∠CAN=∠CAB，
∴∠BCA=∠BAC，
∴CB=AB=13，
又∵∠CBA=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
在△CDB和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=AB}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△AEB（SAS），
∴CD=AE；
（2）解：①由（1）知CB=AB=13，
当BD⊥AC时，BD最小，
∵BC=AB
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=12，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=5，
∴BD最小为5；
②BD最小时，周长最小BD=BE=5，
∵∠DBE=∠CBA，AB=BC，BE=BD，即$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$，
∴△ABC∽△DBE，
∴△ABC与△DBE周长之比=BC：BD，
∴当BD最小时，△DBE周长最小，
△ABC的周长为：13+13+24=50，
∴△DBE的最小周长为50×$\frac{5}{13}=\frac{250}{13}$

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段定理．找出全等三角形的条件，运用等腰三角形的性质，轴对称性质是解决此题的关键．