【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S1,S2和S3,求证:S3=;
(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;点D的坐标为(1,﹣4);(2)证明见解析;(3)存在点M使∠AMN=∠ACM.点M的坐标为(,0),直线MN的解析式为y=x﹣.
【解析】试题分析:(1)直接利用交点式写出抛物线的解析式,然后把解析式配成顶点式得到点D的坐标;
(2)如图,先确定C(0,﹣3),再利用两点间的距离公式计算出BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形,∠BCD=90°,然后根据三角形面积公式分别计算出S1,S2和S3,从而得到结论;
(3)设点M的坐标为(m,0)(﹣1<m<3),则MA=m+1,AC=,利用MN∥BC得到AM:AB=AN:AC,利用比例性质得AN=(m+1),再证明△AMN∽△ACM,利用相似比得到(m+1)2=(m+1),则解方程可得到m的值,从而得到M点的坐标,然后利用待定系数法求出BC的解析式,最后利用MN∥BC可求出直线MN的解析式.
试题解析:(1)抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3),即y=x2﹣2x﹣3;
∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴点D的坐标为(1,﹣4);
(2)如图,当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,则C(0,﹣3),而A(﹣1,0),B(3,0),
∴CD==,BC==3,BD==2,
∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD为直角三角形,∠BCD=90°,
∴S3=CDBC=× ×3 =3,
∵S1=OAOC=×1×3=,S2=OCOB=×3×3=,
∴S3= ;
(3)存在点M使∠AMN=∠ACM.
设点M的坐标为(m,0)(﹣1<m<3),则MA=m+1,AC==,
∵MN∥BC,
∴AM:AB=AN:AC,即(m+1):AN=4: ,解得AN=(m+1),
∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,
∴△AMN∽△ACM,
∴AM:AC=AN:AM,即(m+1)2= (m+1),
解得m1=﹣1(舍去),m2=,
∴点M的坐标为(,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(3,0),C(0,﹣3)代入得 ,解得 ,
∴BC的解析式为y=x﹣3,
又∵MN∥BC,
∴设直线MN的解析式为y=x+n,
把点M的坐标为(,0)代入得n=﹣,
∴直线MN的解析式为y=x﹣.
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【题目】观察下列算式:71=7,72=49,73=343,74=2401,….根据上述算式中的规律,你认为72006的个位数字是( )
A.7
B.9
C.3
D.1
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【题目】下列说法中错误的是( )
A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段
B. 任意三角形的内角和都是 180°
C. 多边形的外角和等于 360°
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角
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【题目】己知反比例函数:y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8)、B(﹣4,m).
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1<x2,y1<y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.
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【题目】利用等式的基本性质填空,并说明运用了等式的哪条基本性质.
(1)如果3x+7=8,那么3x=8-________;
(2)如果2x=5-3x,那么2x+________=5;
(3)如果2x=10,那么x=________.
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【题目】某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如表.与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为.
项目 | 第一次锻炼 | 第二次锻炼 |
步数(步) | 10000 | ____________ |
平均步长(米/步) | 0.6 | ____________ |
距离(米) | 6000 | 7020 |
注:步数×平均步长=距离.
(1)根据题意完成表格填空;
(2)求x;
(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.
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