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【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.

(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S1,S2和S3,求证:S3=

(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;点D的坐标为(1,﹣4);(2)证明见解析;(3)存在点M使∠AMN=∠ACM.点M的坐标为(,0),直线MN的解析式为y=x﹣

【解析】试题分析:(1)直接利用交点式写出抛物线的解析式,然后把解析式配成顶点式得到点D的坐标;

(2)如图,先确定C(0,﹣3),再利用两点间的距离公式计算出BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形,∠BCD=90°,然后根据三角形面积公式分别计算出S1,S2和S3,从而得到结论;

(3)设点M的坐标为(m,0)(﹣1<m<3),则MA=m+1,AC=,利用MN∥BC得到AM:AB=AN:AC,利用比例性质得AN=(m+1),再证明△AMN∽△ACM,利用相似比得到(m+1)2=(m+1),则解方程可得到m的值,从而得到M点的坐标,然后利用待定系数法求出BC的解析式,最后利用MN∥BC可求出直线MN的解析式.

试题解析:(1)抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3),即y=x2﹣2x﹣3;

∵y=(x﹣1)2﹣4,

∴点D的坐标为(1,﹣4);

(2)如图,当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3,则C(0,﹣3),而A(﹣1,0),B(3,0),

∴CD==,BC==3,BD==2

∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD为直角三角形,∠BCD=90°,

∴S3=CDBC=× ×3 =3,

∵S1=OAOC=×1×3=,S2=OCOB=×3×3=

∴S3=

(3)存在点M使∠AMN=∠ACM.

设点M的坐标为(m,0)(﹣1<m<3),则MA=m+1,AC==

∵MN∥BC,

∴AM:AB=AN:AC,即(m+1):AN=4: ,解得AN=(m+1),

∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,

∴△AMN∽△ACM,

∴AM:AC=AN:AM,即(m+1)2= (m+1),

解得m1=﹣1(舍去),m2=

∴点M的坐标为(,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(3,0),C(0,﹣3)代入得 ,解得

∴BC的解析式为y=x﹣3,

又∵MN∥BC,

∴设直线MN的解析式为y=x+n,

把点M的坐标为(,0)代入得n=﹣

∴直线MN的解析式为y=x﹣

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项目

第一次锻炼

第二次锻炼

步数()

10000

____________

平均步长(/)

0.6

____________

距离()

6000

7020

注:步数×平均步长=距离.

(1)根据题意完成表格填空;

(2)x

(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.

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