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【题目】在平面直角坐标系中,规定:抛物线的伴随直线为.例如:抛物线的伴随直线为,即y=2x1

1)在上面规定下,抛物线的顶点坐标为   ,伴随直线为   ,抛物线与其伴随直线的交点坐标为      

2)如图,顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点AB(点A在点B的左侧),与x轴交于点CD

①若∠CAB=90°,求m的值;

②如果点Pxy)是直线BC上方抛物线上的一个动点,PBC的面积记为S,当S取得最大值时,求m的值.

【答案】(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4);)(2)①m=- ; ②m=-2

【解析】试题分析:(1)、由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标,由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式,联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标;(2)、①、可先用m表示出A、B、C、D的坐标,利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2,在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程,可求得m的值;②、由B、C的坐标可求得直线BC的解析式,过P作x轴的垂线交BC于点Q,则可用x表示出PQ的长,进一步表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可得到m的方程,可求得m的值.

试题解析:(1)、(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)

(2)、①因为抛物线解析式为,所以其伴随直线为,即

联立抛物线与伴随直线的解析式可得:,解得,所以

中,令可计算出,所以

,则,即

解得:(抛物线开口向下,舍去),

所以当时,

设直线的解析式为,如图过轴的垂线交于点,如图所示:

因为点的横坐标为,所以,因为是直线上方抛物线上的一个动点,

所以

所以,

时,的值有最大值,所以取得最大值时,即,计算得出

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