【题目】在平面直角坐标系中,规定:抛物线的伴随直线为.例如:抛物线的伴随直线为,即y=2x﹣1.
(1)在上面规定下,抛物线的顶点坐标为 ,伴随直线为 ,抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ;
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴交于点C,D.
①若∠CAB=90°,求m的值;
②如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线上的一个动点,△PBC的面积记为S,当S取得最大值时,求m的值.
【答案】(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4);)(2)①m=- ; ②m=-2
【解析】试题分析:(1)、由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标,由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式,联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标;(2)、①、可先用m表示出A、B、C、D的坐标,利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2,在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程,可求得m的值;②、由B、C的坐标可求得直线BC的解析式,过P作x轴的垂线交BC于点Q,则可用x表示出PQ的长,进一步表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可得到m的方程,可求得m的值.
试题解析:(1)、(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)
(2)、①因为抛物线解析式为,所以其伴随直线为,即。
联立抛物线与伴随直线的解析式可得:,解得或,所以,,
在中,令可计算出或,所以,,
即,,,
若,则,即,
解得:(抛物线开口向下,舍去),,
所以当时,;
②设直线的解析式为,如图过作轴的垂线交于点,如图所示:
因为点的横坐标为,所以,,因为是直线上方抛物线上的一个动点,
所以,
所以,。
当时,的值有最大值,所以取得最大值时,即,计算得出.
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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A(2,3),B(3,0),C(m,n)其中m>0,若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为_____.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+b2,其中正确结论是_____(填序号)
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【题目】如图,点A,B在反比例函数(k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是______.
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】如图,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为(结果保留π)( )
A. 16 B. 24-4π C. 32-4π D. 32-8π
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【题目】平面直角坐标系中,已知点P(m﹣1,n2),Q(m,n﹣1),其中m<0,则下列函数的图象可能同时经过P,Q两点的是( )
A.y=2x+bB.y=﹣x2+2x+c
C.y=ax+2 (a>0)D.y=ax2﹣2ax+c(a>0)
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+mx+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线的对称轴l上找一点P,使PA+PC的值最小,求出点P的坐标
(3)在第二象限内的抛物线上,是否存在点M,使△MBC的面积是△ABC面积的?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
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