Question

【题目】 某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖300件，当以55元每件出售时，每天可以卖150件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该蛋糕店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试直接写出该“奶昔包”销售单价的范围．

Answer 1

【答案】（1）y=-10x+700；（2）当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【解析】

（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出捐款后w′与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据函数的增减性，即可求出x的取值范围．

解：（1）设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，

由题意得：，解得：．

∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700；

（2）由题意，得-10x+700≥240，

解得x≤46．

设利润为w元，

则w=（x-30）y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w最大值=-10×（46-50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．

（3）根据题意得，w′=w-150=-10x2+1000x-21000-150，

当w′=-10x2+1000x-21000-150=3600时，

即-10（x-50）2=-250，

解得：x1=55，x2=45，

∵a=-10＜0，

∴当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．