Question

14．如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于B，C为⊙O上点，OD⊥BC，DO与⊙O相交于点E，AE交CB于F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）AF=3，EF=1，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明OD是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，推出∠DCB=∠DBC，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，推出∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO，由DB是切线，推出OB⊥BD，推出∠DBO=90°，推出∠DCO=90°，即可解决问题．
（2）由△ACF∽△EHF，得$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，设EH=a，则AC=3a，OH=$\frac{3}{2}$a，AB=5a，BC=4a，CH=BH=2a，FH=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{3}{2}$a，在Rt△EFH中，根据EF²=FH²+EH²，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OC，OD与BC交于点H．
∵OD⊥BC，
∴CH=HB，即OD垂直平分线段BC，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DCO=∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=∠DBO，
∵DB是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠DBO=90°，
∴∠DCO=90°，
∴DC⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OHB=∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△ACF∽△EHF，
∴$\frac{AC}{EH}$=$\frac{CF}{FH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，设EH=a，则AC=3a，OH=$\frac{3}{2}$a，AB=5a，BC=4a，CH=BH=2a，FH=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{3}{2}$a，
 在Rt△EFH中，∵EF²=FH²+EH²，
∴1=$\frac{1}{4}$a²+a²，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．