在平面直角坐标系中.现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限.30°角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上.且点A(0.3).点C(-3.0).如图所示.抛物线y=ax2+33ax-3a经过点B．(1)写出点B的坐标与抛物线的解析式,(2)在抛物线上是否还存在点P.使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形?若存在.求所有点P的坐标,(3)设过点B的直线与交x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系中，现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上，且点A（0，3），点C（-

，0），如图所示，抛物线y=ax²+3

ax-3a（a≠0）经过点B．
（1）写出点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；
（3）设过点B的直线与交x轴的负半轴于点D，交y轴的正半轴于点E，求△DOE面积的最小值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（2）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
（3）求S的表达式，首先要求出三角形的点和高，由已知条件求出三角形顶点坐标，从而求三角形的底和高，再根据函数的性质求出最值．

解答：

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵点A（0，3），点C（-

，0），
∴OA=3，OC=

，
在直角三角形AOC中，AC=2

，
∵在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=tan60°×AC=

×2

=6，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，
∴△BCD∽△CAO，
∴

，
∴BD=

=3，
∴AB∥x轴
在直角三角形BDC中，根据勾股定理求得：
DC=3

，
∴OD=OC+DC=

，
∴点B的坐标为（-4

，3）；
把点B的坐标为（-4

，3）代入y=ax²+3

ax-3a（a≠0）
解得：a=

，
∴抛物线的解析式为：y=

x²+

x-1．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（-4

，3），C（-

，0）代入得；
k=-

，b=-1，
∴直线BC的解析式为y=-

x-1，

（2）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P₁，使得P₁C=BC，得到直角三角形△ACP₁，
过点P₁作P₁M⊥x轴，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC．
∴CM=CD=3

，P₁M=BD=3，可求得点P₁（2

，-3）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=BC，得到直角三角形△ACP₂，

过点P₂作P₂N⊥y轴，同理可证△AP₂N≌△CBD，
∴NP₂=DC=3

，AN=BD=3，可求得点P₂（3

，0），
③延长BC交y轴于P₃构成Rt△ACP₃，
∵AB∥x轴，
∴∠CAP₃=30°，
∴Rt△ACP₃是含有30°角的直角三角形，
∴与y轴的交点为P₃（0，-1）
经检验，点P₁（2

，-3）与点P₂（3

，0）都不在抛物线y=

x²+

x-1上，P₃在抛物线y=

x²+

x-1上
∴在抛物线上存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形．

（3）设E点的坐标为（0，b），
∴直线DE的解析式为y=kx+b，
∵B点的坐标（-4

，3），代入得3=-4

k+b，
∴k=

b-3

，
∴直线DE的解析式为y=

b-3

x+b，
∴D点的坐标为（-

b-3

，0）
∴S_△DOE=

OD×OE=

b-3

×b=

b-3

(b-3)2+6(b-3)+9

b-3

[（b-3）+

b-3

]+12

∴当b-3=

b-3

时，即b=6，S_△DOE有最小值，
∴△DOE面积的最小值为24

．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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