Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．

（1）求证△BCD是直角三角形；

（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO+∠CDB=180°，求点P的坐标；

（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）P（，﹣）；（3）M的坐标（5，12）或（，﹣）

【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式求顶点D的坐标，和与y轴的交点C的坐标，由勾股定理计算△BDC三边的平方，利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形；
（2）作辅助线，构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似，根据比例式表示出点P的坐标，利用待定系数法求直线BD的解析式，因为点P为线段BD上一点，代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标；
（3）同理求直线CD的解析式为：y=-x-3，由此表示点N的坐标为（a，-a-3），因为M在抛物线上，所以设M（x，x2-2x-3），根据同角的三角函数得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，则 ，如图2，证明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程组解出即可；如图3，证明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程组解出即可；

试题解析：

解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x2+bx+c中得：

， 解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），

由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2， BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2， 即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

（2）作PQ⊥OC于点Q，

∴∠PQC=90°，

∵∠PCO+∠CDB=180°，

∠PCO+∠PCQ=180°，

∴∠CDB=∠PCQ，

∵∠PQC=∠BCD=90°，

∴△PCQ∽△BDC，

∴=3，

∴PQ=3CQ，

设CQ=m，则PQ=3m，

设P（3m，﹣3﹣m），

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： ，解得： ，

∴直线BD的解析式为：y=2x﹣6，

将点P的坐标代入直线BD：y=2x﹣6得：

﹣3﹣m=2×3m﹣6，

∴3m=，﹣3﹣m=﹣3﹣=﹣，

∴P（，﹣）；

（3） M的坐标（5，12）或（，﹣）．