Question

已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC．点P是BC的中点，M、N分别在AB、AC上．且PM⊥PN，连接MN．
（1）若M是AB中点，判断△PMN的形状并说明理由；
（2）若M是AB上任意一点，（1）的结论还成立么，为什么？
（3）当BM=4，CN=2时，求△PMN的面积和PM的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接AP，可证AP=BP=CP，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半性质即可求得PM=PB；
（2）连接AP，根据∠APC=∠EPF=90°，得出∠APE=90°-∠APF=∠BPF，再利用AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，即可得出△NAP≌△MBP，得出PN=PM；
（3）根据（2）中结论易证四边形AMPN面积=

1

2

△ABC面积，即可求得△PMN的面积，根据PM=PN即可解题．

解答：解：（1）连接AP，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=BP=CP，
∵M是AB中点，
∴PM=

1

2

AB，PN=

1

2

AC，
∴PN=PM；
∴△PMN是等腰直角三角形；
（2）连接AP，则AP=PB=PC，
∵∠APC=∠APN+∠CPN=90°，∠MPN=∠MPA+∠APN=90°，
∴∠APM=∠CPN，
在△AMP和△CNP中，

∠MAP=∠NCP PA=PC ∠MAP=∠C=45°

，
∴△AMP≌△CNP（ASA），
∴MP=NP，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵△AMP≌△CNP，
∴AM=CN，四边形AMPN面积=△ABP面积=

1

2

△ABC面积，
∵AB=BM+AM=BM+CN=6，
∴四边形AMPN面积=

1

2

×

1

2

（AB•AC）=9；
∵△AMN面积=

1

2

AM•AN=4，
∴△PMN的面积=9-4=5，
∵PM=PN，∠MPN=90°，
∴

1

2

PM•PN=5，
∴PM=PN=

10

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMP≌△CNP是解题的关键．