Question

20．已知A（x，0），B（0，y），且已知$\sqrt{x+y-8}$+$\sqrt{x-y}$=0．点C为AB的中点，点F在OA上，点E在y轴负半轴上，OE+AF=EF，求∠ECF的大小．

Answer 1

分析 根据非负数的性质得到x+y-8=0，x-y=0，求得x=y=4，于是得到OA=OB=4，∠ABO=∠BAO=45°，由点C为AB的中点，求得OC⊥AB，∠COA=∠BOC=45°根据邻补角定义得到∠CAK=∠COE=135°，推出△COE≌△CAK，根据全等三角形的性质得到OE=AK，CE=CK，根据已知条件得到EF=KF，求得△CEF≌△CKF，根据全等三角形的性即可得到结论．

解答 解：∵$\sqrt{x+y-8}$+$\sqrt{x-y}$=0，
∴x+y-8=0，x-y=0，
∴x=y=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，∠ABO=∠BAO=45°，
∵点C为AB的中点，
∴OC⊥AB，∠COA=∠BOC=45°，
∴∠CAK=∠COE=135°，OC=AC，
∵∠OCA=∠ECK=90°，
∴∠OCE=∠KCA，
在△OCE与△CAK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠CAK}\\{OC=CA}\\{∠OCE=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△CAK，
∴OE=AK，CE=CK，
∵AF+OE=EF，
∴EF=KF，
在△CEF与△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CK}\\{EF=FK}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CKF，
∴∠ECF=∠KCF=$\frac{1}{2}∠$ECK=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图象的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．