Question

12．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，过点C作CD∥AB，且AB=BD，过C点作CE⊥CD，CD=CE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）如图2，连接BE，求证：BE=BD；
（3）如图3，连接AD，求证：AF=AD．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理：三边对应相等，两三角形全等即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB=180°，求得∠DCB=135°，∠BCE=360°-135°-90°=135°，于是得到∠BCD=∠BCE，推出△BCD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，连接AD，根据全等三角形的性质得到AE=BD，求得△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60°，推出∠CAE=∠CBD=15°，得到∠ABF=30°，根据外角的性质得到∠AFD=45°+30°=75°，由三角形的内角和得到∠ADB=$\frac{180°-∠ABF}{2}$=75°，于是得到∠AFD=∠ADF，即可得到结论．

解答 证明：（1）在△ACE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{AB=BD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD；

（2）∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=135°，
∵∠DCE=90°，
∴∠BCE=360°-135°-90°=135°，
∴∠BCD=∠BCE，
在△BCD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠BCD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BCE，
∴BD=BE；

（3）如图3，连接AD，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∵AB=BD，BD=BE，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∵∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠CAE=∠CBD=15°，
∴∠ABF=30°，
∴∠AFD=45°+30°=75°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=$\frac{180°-∠ABF}{2}$=75°，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．