Question

2．在四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABC=∠ADB，BD平分∠ABC，AD：AB=$\sqrt{13}$：6，DC=1，则DB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 过点D作DF∥BC交AB于F，过F作FG⊥BD与点G，先证明△BFD是等腰三角形，从而得到BG=DG，然后证明∠ADF=∠ABD，从而可证明△AFD∽△ADB，从而可得到$\frac{DF}{BD}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{6}$，故此可知$\frac{DF}{GD}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，从而可求得$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，最后根据sin∠DBC=sin∠FDB求解即可．

解答 解：过点D作DF∥BC交AB于F，过F作FG⊥BD与点G．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}∠$ABC．
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBC．
∴∠FBD=∠FDB=$\frac{1}{2}∠ABC$．
∴DF=FB．
又∵FG⊥BD，
∴BG=GD=$\frac{1}{2}$BD．
∵∠FBD=$\frac{1}{2}∠ABC$，∠ADB=∠ABC，
∴∠FDB=$\frac{1}{2}$∠ADB．
∴∠ADF=∠ABD．
又∵∠A=∠A，
∴△AFD∽△ADB．
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{6}$．
∴$\frac{DF}{GD}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
∴$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵∠DBC=∠FDB，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴$\frac{BD}{1}=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴BD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、锐角三角函数的定义，求得$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$是解题的关键．