Question

1．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0）．
（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H．证明：PA=PH．
（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP=PQ，∠APQ=90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0），得到△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4=∠6=45°，再证明△APG≌△PHB，得到PA=PH．
（2）OG=PG，OG⊥PG，理由：如图2，延长PG到R，使GR=PG，连接PO，OR，BR，证明△PQG≌△BRG，得到PQ=BR，∠5=∠GBR，进而AP⊥PQ，再延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，证明△PAO≌△RBO，得到PO=OR，∠1=∠2，所以△POR为等腰直角三角形，根据PG=GR，所以OG⊥PG，OG=PG．

解答 解：（1）∵A（0，2）、B（2，0）、C（-2，0）．
∴OA=OB=OC，
∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，
∴∠6=∠7=45°，
如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4=∠6=45°，

∴OP=OG，
∴AO+OG=OB+OP，
即AG=PB，
∵AP⊥PH，
∴∠2+∠5=90°，
∵∠1+∠5=90°，
∴∠1=∠2，
∵MN⊥AB，
∴∠3+∠7=90°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠4，
在△APG和△PHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AG=PB}\\{∠4=∠3}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△PHB，
∴PA=PH．
（2）OG=PG，OG⊥PG，

理由：如图2，延长PG到R，使GR=PG，连接PO，OR，BR，
在△PQG和△BRG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PG=GR}\\{∠4=∠3}\\{QG=BG}\end{array}\right.$，
∴△PQG≌△BRG，
∴PQ=BR，∠5=∠GBR，
∴PQ∥BR，
∵AP⊥PQ，
延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，
∵∠AOB=∠ASB=90°，∠ATR=∠BTS，
∴∠α=∠β，
∵PA=PQ，PQ=BR，
∴PA=BR，
在△PAO和△RBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=BR}\\{∠β=∠α}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△PAO≌△RBO，
∴PO=OR，∠1=∠2，
∵∠1+∠POB=90°，
∴∠POB+∠2=90°，
∴△POR为等腰直角三角形，
∵PG=GR，
∴OG⊥PG，OG=PG．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定定理、等腰直角三角形的性质疑判定，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．