Question

7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE，∠EDG=∠AFD．
（1）如图，当DE=DF时．证明AD=GE．
（2）在（1）的条件下，证明AB=BE．

Answer 1

分析 （1）由已知条件和平角的定义得到∠ADF=∠DEG，证得△ADF≌△DGE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；

解答 解：（1）∵∠ADF+∠DEC=180°，∠DEG+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEG，
在△ADF与△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠DEG}\\{DF=DE}\\{∠AFD=∠GDE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DGE，
∴AD=GE；

（2）如图1，连结AE．
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵∠ADF+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEB．
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．
∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，
∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，
∴AB=BE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．