Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点E时AC上一点，ED⊥AB于D，cosA=

2

5

5

，tan∠BED=

4

3

，CE=

5

，求DE的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：在直角三角形AED与直角三角形BED中，利用锐角三角函数定义表示出cosA与tan∠BED，设AD=2x，则有AE=

5

x，利用勾股定理表示出ED，进而表示出DB，得到AB与AC，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出cosA，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到DE的长．

解答：解：在Rt△AED和Rt△BED中，
cosA=

AD

AE

=

2 5

5

，tan∠BED=

BD

ED

=

4

3

，
设AD=2x，则有AE=

5

x，
根据勾股定理得：ED=x，BD=

4

3

x，
∴AB=AD+DB=2x+

4

3

x=

10

3

x，AC=AE+EC=

5

x+

5

，
在Rt△ABC中，cosA=

AC

AB

=

2 5

5

，
即

5 x+ 5

10 3 x

=

2 5

5

，
解得：x=3，
则DE=3．

点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．