Question

9．在数学活动中，小军为了求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值（结果用n表示），设计了如图所示的几何图形．（大正方形的面积为1）
（1）请你用这个几何图形1求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值；
（2）请你用图2，再设计一个能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值的几何图形；
（3）上述式子可否使用代数方法解决？如果可以请你试一试，如果不可以请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由图1可知：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$是正方形内各个小长方形面积的和，可以表示为大正方形的面积减去最后一个n等分后的长方形的面积；
（2）先利用对角线平分正方形，再利用中线平分三角形，同理依次平分，得到与图1类似能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$的值的几何图形；
（3）设S₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$①，扩大2倍后发现有很多项相同，两式相减可得结论．

解答 解：（1）如图1，由题意可知：正方形的面积为1，
∴$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）可设计成如图2所示：

（3）设S₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$①，
则2S₁=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$②，
②-①得：2S₁-S₁=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S₁=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题是图形类的变化规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．本题是利用n等分正方形面积来计算一个代数式的值．