Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，∠B=30°，过A点的直线与OC的延长线交于点D，∠CAD=30°，AD=10

3

．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P，使得PA+PH的值最小？若存在求PA+PH的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OA，如图，根据圆周角定理得∠AOC=2∠B=60°，则可判断△OAC为等边三角形，所以∠OAC=60°，则∠OAD=∠CAD+∠OAC=90°，于是可根据切线的判定定理得到AD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OA=

3

3

AD=10，则AC=OA=10；作弦AF⊥OC，连结HF交OD于P，延长AP交⊙O于E点，根据垂径定理得到OC平分AF，即OC垂直平分AF，则PA=PF，所以PA+PH=PF+PH=HF，根据两点之间线段最短得此时PA+PH的值最小；再利用垂径定理由OH⊥AC得HC=AH=5，FC=AC=10，∠OCF=∠OCA=60°，所以∠HCF=120°，在Rt△HCG中计算出CG=

1

2

HC=

5

2

，HG=

3

CG=

5 3

2

，然后在Rt△HFG中，根据勾股定理可计算出HF．

解答：（1）证明：连结OA，如图，
∵∠AOC=2∠B=2×30°=60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=60°，
而∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠CAD+∠OAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：存在．
在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，∠D=30°，
∴OA=

3

3

AD=

3

3

×10

3

=10，
∴AC=OA=10，
作弦AF⊥OC，连结HF交OD于P，延长AP交⊙O于E点，
∵OC⊥AF，
∴OC平分AF，即OC垂直平分AF，
∴PA=PF，
∴PA+PH=PF+PH=HF，
∴此时PA+PH的值最小，
∵OH⊥AC，
∴HC=AH=5，
∵OC⊥AF，
∴AC弧=FC弧，
∴FC=AC=10，∠OCF=∠OCA=60°，
∴∠HCF=120°，
作HG⊥FC于G，如图，
在Rt△HCG中，∠HCG=60°，HC=5，
∴CG=

1

2

HC=

5

2

，
HG=

3

CG=

5 3

2

，
在Rt△HFG中，FG=FC+CG=

25

2

，HG=

5 3

2

，
∴HF=

HG2+FG2

=

( 5 3 2 )2+( 25 2 )2

=5

7

，
即PA+PH的最小值为5

7

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的性质、勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．